25 Preguntas de Práctica de Álgebra avanzada y funciones con Respuestas

1. 1. ¿Cuál es la solución (x, y) del sistema 2x + 3y = 12 y x − y = 1?

   • A.(3, −2)
   • B.(3, 2)✓ Respuesta
   • C.(2, 3)
   • D.(5, 4)

   De x − y = 1 se obtiene x = y + 1. Al sustituir: 2(y + 1) + 3y = 12, así que 5y = 10 y y = 2; luego x = 3. El punto (3, 2) cumple ambas ecuaciones: 6 + 6 = 12 y 3 − 2 = 1. El par (2, 3) invierte las coordenadas y los demás no cumplen al menos una ecuación.

   Ref. QB-7SECA4Fuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Linear equations (solving systems of two linear equations)Reportar un problema con esta pregunta

2. 2. ¿Para qué valor de k el sistema 3x − ky = 7 y 6x + 4y = 5 no tiene solución?

   • A.−8
   • B.2
   • C.8
   • D.−2✓ Respuesta

   Un sistema lineal no tiene solución cuando las rectas son paralelas: los coeficientes de x e y son proporcionales pero las constantes no. Como 6 = 2 × 3, se necesita 4 = 2 × (−k), así que k = −2. Entonces la primera ecuación es 3x + 2y = 7, que al duplicarse da 6x + 4y = 14, con constante distinta de 5: rectas paralelas y distintas. El valor 2 es un error de signo y ±8 surgen de invertir la razón.

   Ref. QB-P997Q3Fuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Linear equations (systems with no solution)Reportar un problema con esta pregunta

3. 3. La recta que pasa por los puntos (1, 4) y (3, a) es perpendicular a la recta 2x + 5y = 10. ¿Cuál es el valor de a?

   • A.9✓ Respuesta
   • B.16/5
   • C.−1
   • D.24/5

   Al escribir 2x + 5y = 10 como y = (−2/5)x + 2 se ve que su pendiente es −2/5. Las pendientes perpendiculares son recíprocas opuestas, así que la nueva pendiente es 5/2. Entonces (a − 4)/(3 − 1) = 5/2 da a − 4 = 5 y a = 9. Usar −5/2 (recíproco sin cambiar el signo) da −1, y usar −2/5 o 2/5 da 16/5 o 24/5.

   Ref. QB-6S3253Fuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Linear applications and graphs (perpendicular lines)Reportar un problema con esta pregunta

4. 4. La gráfica de una desigualdad lineal tiene la recta límite y = 2x − 3 trazada con línea discontinua, y la región por encima de la recta está sombreada. ¿Qué desigualdad representa la gráfica?

   • A.y ≥ 2x − 3
   • B.y > 2x − 3✓ Respuesta
   • C.y < 2x − 3
   • D.y ≤ 2x − 3

   Una recta límite discontinua indica que los puntos de la recta no se incluyen, así que la desigualdad es estricta (> o <). Sombrear por encima significa valores de y mayores que 2x − 3, es decir, y > 2x − 3. El símbolo ≥ requeriría una línea continua, y < o ≤ sombrearían por debajo.

   Ref. QB-N9WUH2Fuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Linear applications and graphs (graphing linear inequalities)Reportar un problema con esta pregunta

5. 5. ¿Cuál de las siguientes es la forma factorizada de 8x^3 + 27?

   • A.(2x − 3)(4x^2 + 6x + 9)
   • B.(2x + 3)(4x^2 − 6x + 9)✓ Respuesta
   • C.(2x + 3)(4x^2 − 12x + 9)
   • D.(2x + 3)(4x^2 + 6x + 9)

   8x^3 + 27 es una suma de cubos con a = 2x y b = 3. La regla a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2) da (2x + 3)(4x^2 − 6x + 9). El término central del trinomio es −ab = −6x, no +6x (eso corresponde a la diferencia de cubos) ni −12x (que es −2ab, de un trinomio cuadrado perfecto).

   Ref. QB-5SQPXZFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Factoring (sum of cubes)Reportar un problema con esta pregunta

6. 6. ¿Cuál de las siguientes es la factorización completa de 2x^3 − 3x^2 − 8x + 12?

   • A.(2x − 3)(x − 2)(x + 2)✓ Respuesta
   • B.(2x − 3)(x − 2)(x − 2)
   • C.(2x + 3)(x − 2)(x + 2)
   • D.(3 − 2x)(x − 2)(x + 2)

   Se agrupa: x^2(2x − 3) − 4(2x − 3) = (2x − 3)(x^2 − 4). Luego x^2 − 4 es una diferencia de cuadrados, (x − 2)(x + 2). Escribir (x − 2)(x − 2) trata x^2 − 4 como un cuadrado perfecto; (2x + 3) proviene de un error de signo al sacar −4 de −8x + 12; y (3 − 2x) es el opuesto del factor correcto, por lo que ese producto da el polinomio opuesto.

   Ref. QB-M9JHCZFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Factoring (factoring by grouping, difference of squares)Reportar un problema con esta pregunta

7. 7. ¿Cuál es el vértice de la parábola y = −2x^2 + 12x − 7?

   • A.(3, 11)✓ Respuesta
   • B.(3, 47)
   • C.(−3, −61)
   • D.(6, −7)

   La coordenada x del vértice es −b/(2a) = −12/(2 × −2) = 3. Al sustituir, y = −2(9) + 36 − 7 = 11, así que el vértice es (3, 11), un máximo porque a < 0. Omitir el signo negativo en −b/(2a) da x = −3; calcular −2(3)^2 como +18 da 47; y usar −b/a da x = 6.

   Ref. QB-4SCCSYFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Quadratics (vertex x = −b/2a)Reportar un problema con esta pregunta

8. 8. ¿Cuáles son las soluciones de x^2 − 4x + 13 = 0?

   • A.2 ± 3
   • B.4 ± 6i
   • C.2 ± 3i✓ Respuesta
   • D.−2 ± 3i

   El discriminante es b^2 − 4ac = 16 − 52 = −36, negativo, así que las raíces no son reales. La fórmula cuadrática da x = (4 ± sqrt(−36))/2 = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i, porque sqrt(−36) = 6i. Usar +b en lugar de −b da −2 ± 3i, ignorar el negativo bajo la raíz da 2 ± 3, y olvidar dividir entre 2a deja 4 ± 6i.

   Ref. QB-K9777YFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Quadratics (quadratic formula, discriminant, i^2 = −1)Reportar un problema con esta pregunta

9. 9. El sistema y = x^2 − 2x + 3 y y = 2x + k tiene exactamente una solución. ¿Cuál es el valor de k?

   • A.−1✓ Respuesta
   • B.4
   • C.1
   • D.−4

   Al igualar las expresiones: x^2 − 2x + 3 = 2x + k, es decir, x^2 − 4x + (3 − k) = 0. Una sola solución significa discriminante cero: 16 − 4(3 − k) = 0, así que 4 + 4k = 0 y k = −1. Entonces la recta y = 2x − 1 toca la parábola solo en (2, 3). Escribir la constante como 3 + k da 1, y tomar solo k como constante da 4.

   Ref. QB-3SZZKXFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Quadratics (systems involving a quadratic equation)Reportar un problema con esta pregunta

10. 10. Si f(x) = 2x − 1 y g(x) = x^2 + 3, ¿cuál es el valor de f(g(−2))?

    • A.−3
    • B.28
    • C.7
    • D.13✓ Respuesta

    La composición se evalúa de adentro hacia afuera: primero g(−2) = (−2)^2 + 3 = 7 y luego f(7) = 2(7) − 1 = 13. Calcular g(f(−2)) invierte el orden y da g(−5) = 28. Detenerse en g(−2) da 7, y elevar −2 al cuadrado como −4 da g(−2) = −1 y f(−1) = −3.

    Ref. QB-X6QEFJFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Functions (function notation and composition)Reportar un problema con esta pregunta

11. 11. Si f(x) = (3x − 4)/5, ¿qué expresión es la función inversa f^(−1)(x)?

    • A.(3x + 4)/5
    • B.(5x − 4)/3
    • C.5/(3x − 4)
    • D.(5x + 4)/3✓ Respuesta

    Se escribe y = (3x − 4)/5, se intercambian x e y para obtener x = (3y − 4)/5 y se despeja: 5x = 3y − 4, así que y = (5x + 4)/3. La inversa deshace las operaciones en orden inverso, por lo que restar 4 se convierte en sumar 4. El recíproco 5/(3x − 4) confunde la función inversa con 1/f(x), y (5x − 4)/3 conserva el signo original.

    Ref. QB-FPVK2KFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Functions (inverse of a linear function)Reportar un problema con esta pregunta

12. 12. El punto (1, 4) está en la gráfica de y = f(x). ¿Qué punto debe estar en la gráfica de g(x) = −f(x − 3) + 2?

    • A.(4, 6)
    • B.(−2, −2)
    • C.(4, −6)
    • D.(4, −2)✓ Respuesta

    Reemplazar x por x − 3 desplaza la gráfica 3 unidades a la derecha, así que x = 1 pasa a x = 4. El signo negativo refleja el valor de y sobre el eje x (4 pasa a −4) y el +2 lo sube 2 unidades, dando −2. Por eso (4, −2) está en g. Desplazar a la izquierda da x = −2, ignorar la reflexión da 6, y sumar 2 antes de reflejar da −6.

    Ref. QB-W6C4AHFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Functions (graphing functions and transformations)Reportar un problema con esta pregunta

13. 13. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación sqrt(2x + 7) = x + 2?

    • A.x = −1 o 3
    • B.x = 1 o −3
    • C.solo x = 1✓ Respuesta
    • D.solo x = −3

    Al elevar al cuadrado: 2x + 7 = x^2 + 4x + 4, así que x^2 + 2x − 3 = 0 y (x + 3)(x − 1) = 0, con x = 1 o x = −3. Elevar al cuadrado puede crear raíces extrañas, así que hay que comprobar: x = 1 da sqrt(9) = 3 = 1 + 2, que funciona, pero x = −3 da sqrt(1) = 1 mientras el lado derecho vale −1. Una raíz cuadrada principal nunca es negativa, así que se descarta −3. El par −1 y 3 proviene de factorizar con signos incorrectos.

    Ref. QB-EPH9VHFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Radical and rational equations (extraneous solutions)Reportar un problema con esta pregunta

14. 14. ¿Qué enunciado describe correctamente la gráfica de f(x) = (x^2 − 9)/(x^2 + x − 6)?

    • A.Asíntotas en x = −3 y x = 2
    • B.Hueco en x = −3; asíntota x = 2✓ Respuesta
    • C.Hueco en x = 2; asíntota x = −3
    • D.Hueco en x = 3; asíntota x = −2

    Al factorizar: f(x) = (x − 3)(x + 3)/[(x + 3)(x − 2)]. El factor x + 3 se cancela, así que x = −3 produce un hueco (discontinuidad removible), mientras que x − 2 queda en el denominador, de modo que x = 2 es una asíntota vertical. Llamar asíntotas a ambos ceros del denominador ignora la cancelación, y las otras opciones intercambian los papeles o los signos.

    Ref. QB-Z6E4TMFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Radical and rational equations (graphing rational functions, holes and vertical asymptotes)Reportar un problema con esta pregunta

15. 15. ¿Cuál es el residuo al dividir p(x) = x^3 − 4x^2 + 2x + 5 entre x − 3?

    • A.2✓ Respuesta
    • B.−64
    • C.5
    • D.0

    Por el teorema del residuo, el residuo de dividir p(x) entre x − a es p(a). Aquí p(3) = 27 − 36 + 6 + 5 = 2. Calcular p(−3) = −64 usa el signo equivocado de a, 5 es solo el término constante y 0 significaría que x − 3 es un factor, lo cual no es cierto.

    Ref. QB-HPK9DNFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Polynomial equations (remainder theorem)Reportar un problema con esta pregunta

16. 16. ¿Qué enunciado describe la gráfica de f(x) = −2(x − 1)^2(x + 3)^3?

    • A.Toca en x = 1, cruza en x = −3, baja a la derecha✓ Respuesta
    • B.Cruza en x = 1, toca en x = −3, baja a la derecha
    • C.Toca en x = −1, cruza en x = 3, baja a la derecha
    • D.Toca en x = 1, cruza en x = −3, sube a la derecha

    El cero x = 1 tiene multiplicidad par 2, así que la gráfica toca el eje x y rebota; el cero x = −3 tiene multiplicidad impar 3, así que la gráfica lo cruza. El término principal es −2x^5 (grado impar, coeficiente negativo), por lo que la gráfica sube a la izquierda y baja a la derecha. Los ceros son los valores que anulan cada factor: x − 1 da 1, no −1.

    Ref. QB-Y63SMKFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Polynomial equations (zeros, multiplicity and end behavior)Reportar un problema con esta pregunta

17. 17. ¿Qué valor de x cumple 4^(x + 1) = 8^(x − 1)?

    • A.1
    • B.5✓ Respuesta
    • C.2
    • D.3

    Se reescriben ambos lados en base 2: 4^(x + 1) = 2^(2x + 2) y 8^(x − 1) = 2^(3x − 3). Potencias iguales de la misma base tienen exponentes iguales, así que 2x + 2 = 3x − 3 y x = 5. Multiplicar solo la x por 2 y por 3 (2x + 1 = 3x − 1) da 2, y multiplicar las bases como coeficientes (4(x + 1) = 8(x − 1)) da 3. Un error de signo al agrupar términos (escribir 2x − 3x = −3 + 2, es decir, −x = −1) da 1.

    Ref. QB-GP8X7MFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Exponential and logarithmic equations (solving with a common base)Reportar un problema con esta pregunta

18. 18. ¿Cuál es el conjunto solución de log_2(x) + log_2(x − 2) = 3?

    • A.solo x = 5
    • B.x = 4 o −2
    • C.solo x = −2
    • D.solo x = 4✓ Respuesta

    La regla del producto combina los logaritmos: log_2(x(x − 2)) = 3, así que x(x − 2) = 2^3 = 8. Luego x^2 − 2x − 8 = 0 se factoriza como (x − 4)(x + 2) = 0, con 4 o −2. El argumento de un logaritmo debe ser positivo, y x = −2 hace que log_2(−2) no esté definido, así que solo sirve x = 4. Sumar los argumentos en vez de multiplicarlos (2x − 2 = 8) da el valor erróneo 5.

    Ref. QB-T6A4SDFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Exponential and logarithmic equations (log product rule, domain of logarithms)Reportar un problema con esta pregunta

19. 19. La cantidad de un medicamento en la sangre de un paciente, en miligramos, t horas después de una dosis se modela con M(t) = 300(0.82)^t. ¿Qué indica el número 0.82 sobre el medicamento?

    • A.La cantidad baja 0.82 mg cada hora
    • B.La cantidad baja un 82% cada hora
    • C.Queda el 18% de la cantidad cada hora
    • D.La cantidad baja un 18% cada hora✓ Respuesta

    En y = a(1 − r)^t, la base 1 − r es el factor de decaimiento: la fracción que se conserva en cada periodo. Aquí 1 − r = 0.82, así que queda el 82% cada hora y la tasa de decaimiento es r = 0.18, una baja del 18% por hora. Leer 0.82 como el porcentaje perdido confunde el factor con la tasa, y una baja fija de 0.82 mg describiría un modelo lineal, no exponencial.

    Ref. QB-BPF9CEFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Exponential and logarithmic equations (interpreting exponential decay models)Reportar un problema con esta pregunta

20. 20. El punto medio del segmento AB es (2, −1). Si A = (−3, 4), ¿cuáles son las coordenadas de B?

    • A.(−8, 9)
    • B.(7, −6)✓ Respuesta
    • C.(5, −5)
    • D.(−1/2, 3/2)

    El punto medio promedia los extremos, así que (−3 + x)/2 = 2 y (4 + y)/2 = −1. Al resolver, x = 7 y y = −6, de modo que B = (7, −6); equivalentemente, B = 2M − A. Promediar A con el punto medio da (−1/2, 3/2), calcular 2A − M da (−8, 9), y M − A solo da el desplazamiento de A a M, (5, −5).

    Ref. QB-U4Q9XEFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Geometry concepts for Algebra 1 (midpoint formula)Reportar un problema con esta pregunta

21. 21. El punto (3, −5) se rota 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen. ¿Cuáles son las coordenadas de su imagen?

    • A.(5, 3)✓ Respuesta
    • B.(−3, 5)
    • C.(−5, 3)
    • D.(−5, −3)

    Una rotación de 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen transforma (x, y) en (−y, x). Con x = 3 y y = −5, la imagen es (5, 3), que pasa del cuadrante IV al cuadrante I, como corresponde a un giro antihorario. La regla (y, −x) es una rotación horaria y da (−5, −3); (−x, −y) es una rotación de 180 grados; y (y, x) es una reflexión sobre y = x.

    Ref. QB-BMH4CEFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Geometry concepts for Algebra 1 (rotations in the coordinate plane)Reportar un problema con esta pregunta

22. 22. ¿Cuáles son el centro y el radio de la circunferencia x^2 + y^2 + 8x − 2y − 8 = 0?

    • A.Centro (4, −1), radio 5
    • B.Centro (−4, 1), radio 3
    • C.Centro (−4, 1), radio 5✓ Respuesta
    • D.Centro (−4, 1), radio 25

    Se completa el cuadrado: (x^2 + 8x + 16) + (y^2 − 2y + 1) = 8 + 16 + 1, así que (x + 4)^2 + (y − 1)^2 = 25. En (x − h)^2 + (y − k)^2 = r^2, el centro es (h, k) = (−4, 1) y r = sqrt(25) = 5. Tomar los signos tal como aparecen da (4, −1), dar r^2 = 25 como radio da 25, y olvidar sumar 16 al lado derecho da r^2 = 9 y radio 3.

    Ref. QB-T4CXRDFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Geometry concepts for Algebra 2 (circle equations in the coordinate plane)Reportar un problema con esta pregunta

23. 23. Una circunferencia tiene un radio de 12 centímetros. ¿Cuál es la longitud, en centímetros, del arco que abarca un ángulo central de 150 grados?

    • A.5pi
    • B.1800
    • C.10pi✓ Respuesta
    • D.60pi

    La longitud de arco s = r × theta requiere theta en radianes. Al convertir, 150 × pi/180 = 5pi/6, así que s = 12 × 5pi/6 = 10pi centímetros. Multiplicar 12 por 150 grados da 1800, una confusión entre grados y radianes; 60pi es el área del sector (1/2)r^2 theta; y 5pi resulta de usar radio 6 en lugar de 12.

    Ref. QB-AM6S6DFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Trigonometry (radian measure and arc length)Reportar un problema con esta pregunta

24. 24. En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 60 grados y la hipotenusa mide 14 unidades. ¿Cuál es la longitud del cateto opuesto al ángulo de 60 grados?

    • A.14sqrt(2)
    • B.14sqrt(3)
    • C.7sqrt(3)✓ Respuesta
    • D.7sqrt(2)

    Un triángulo 30-60-90 tiene lados en razón 1 : sqrt(3) : 2, con el cateto corto opuesto a 30 grados y el largo opuesto a 60 grados. Con hipotenusa 14, el cateto corto mide 7 y el largo 7sqrt(3); coincide con sin(60°) = sqrt(3)/2, pues 14 × sqrt(3)/2 = 7sqrt(3). Multiplicar la hipotenusa por sqrt(3) da 14sqrt(3), y las respuestas con sqrt(2) aplican la razón 45-45-90 al triángulo equivocado.

    Ref. QB-S4ZKKCFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Trigonometry (right triangle trigonometry and special triangles)Reportar un problema con esta pregunta

25. 25. ¿Cuáles son todas las soluciones de 2sin(x) + sqrt(3) = 0 en el intervalo 0 ≤ x < 2pi?

    • A.pi/3 y 2pi/3
    • B.5pi/6 y 7pi/6
    • C.4pi/3 y 5pi/3✓ Respuesta
    • D.7pi/6 y 11pi/6

    Al despejar el seno, sin(x) = −sqrt(3)/2. El ángulo de referencia con seno sqrt(3)/2 es pi/3, y el seno es negativo en los cuadrantes III y IV, así que x = pi + pi/3 = 4pi/3 y x = 2pi − pi/3 = 5pi/3. Los ángulos pi/3 y 2pi/3 ignoran el signo negativo, 7pi/6 y 11pi/6 resuelven sin(x) = −1/2, y 5pi/6 y 7pi/6 resuelven cos(x) = −sqrt(3)/2.

    Ref. QB-9MTEZBFuente: College Board Next-Generation ACCUPLACER Test Specifications — Advanced Algebra and Functions: Trigonometry (solving trigonometric equations, unit-circle values)Reportar un problema con esta pregunta

Preguntas de práctica elaboradas a partir de las dimensiones de contenido de las especificaciones publicadas del Next-Generation ACCUPLACER del College Board. Este sitio no está afiliado ni respaldado por el College Board, y estas no son preguntas reales del examen. Cada universidad decide qué pruebas presentas y qué puntajes usa para la ubicación, así que confírmalo con tu universidad antes de presentarlo. La prueba real de Escritura se presenta en inglés; por eso sus opciones se mantienen en inglés aquí. Acerca de ACCUPLACER (College Board) →